كيف إيجاد نهايات التابع الجيبي sin-cosin

إيجاد نهايات التابع الجيبي قد يكون مشكلة لدى بعض الطلاب، الأمر يحتاج تأسيسا فيما dخص نهايات جميع الدوال المثلثية والمبرهنات على النتيجة التي نحصل عليها عند إيجاد نهاية دالة الجيب أو دالة جيب التمام.

إذ نحتاج هذه النهايات غالبًا في دراساتنا لحساب التفاضل والتكامل والسلاسل اللانهائية. كما أنها ضرورية لتطوير مشتقات حساب المثلثات. الدوال المثلثية ومشتقاتها مهمة جدًا و يجب عليك حفظها.

إيجاد نهايات التابع الجيبي sin-cosin

بشكل بسيط، سنساعدك في التعرف على كيفية إيجاد نهايات التابع الجيبي لدلة الجيب ودالة جيب التمام.

وقد يعبر عن نهاية دالة الجيب كالتالي:

limx→0 sin(x)/x=1

ومهمتنا إثبات أن النهاية من كلا جانبي هذه الدالة هي 1.

أما دالة جيب التمام فنهايتها كالتالي:

limx→0 cos(x)−1/x=0

ومهمتنا إثبات أن النهاية من كلا جانبي هذه الدالة هي صفر.

سنستخدم أدناه طريقة لإثبات ناتج إيجاد نهايات التابع الجيبي.

إثبات نهاية التابع الجيبي sin

خذ دائرة وحدة وحدد الزاوية θ أعلى وأسفل نصف القطر، للحصول على زاوية كلية مقدارها 2θ.

طول قوس دائرة الوحدة هو قياس زاوية القوس (بالراديان)، وبالتالي فإن طول القوس هو 2θ. باستخدام بعض حساب المثلثات للمثلث الأيمن، يكون طول المقطع الأحمر المستقيم ضعف جيب الزاوية · θ

إذا أخذنا مقطعًا صغيرًا بدرجة كافية من القوس، فإنه يشبه إلى حد كبير مقطع خط مستقيم.

ففي التفاضل دائما هناك فكرة أننا إذا أخذنا أي جزء صغير بما فيه الكفاية من المنحنى، فإنه يكون خطيًا تقريبًا.

ونظرًا لأن θ تميل إلى الصفر، فإن طول القوس الأرجواني وطول المقطع الأحمر يقتربان من التساوي، والنسبة أقرب إلى واحد.

*لاحظ أن الخط سيكون دائمًا أصغر من القوس، لذا ستكون قيمة النسبة دائمًا أقل من 1. بالتالي، عند إيجاد نهايات التابع الجيبي sin تكون النتيجة 1.

فيما يلي نظرة على تأثير تقليل 2θ على نسبة طول القوس إلى طول المقطع. في المنتصف، تم تصغير الزاوية إلى نصف حجمها الأصلي. على اليمين، تم تصغيرها مرة أخرى.

البرهان الجبري على إيجاد نهايات التابع الجيبي (جيب التمام)

برهن أن:

limθ→0

cos(θ)−1\θ = 0
من خلال إثبات نهاية الجيب أعلاه في يمكننا إثبات نهاية جيب التمام جبريًا. نبدأ بضرب النهاية في:
cos(θ)+1/cos(θ)+1
للحصول على:
limθ→0

(cos(θ)−1)(cos(θ)+1)/θ⋅(cos(θ)+1)
وينتج عن ضرب القيم ذات الحدين في البسط
limθ→0cos2(θ)−1/θ⋅(cos(θ)+1)
الآن إذا تذكرنا متطابقة فيثاغورس: sin²(x) + cos²(x) = 1، فيمكن إعادة كتابة البسط

limθ→0

−sin²(θ)/θ⋅(cos(θ)+1)

يمكننا بعد ذلك تقسيم هذا الشكل إلى جزأين، أحدهما يمثل نهاية الجيب والآخر يمكن تقييمه بالتعويض المباشر:
limθ→0

sin(θ)/θ ⋅ −sin(θ)/cos(θ)+1=1⋅0=0

للتوضيح: استخدمنا خاصية ضرب النهايات التي تنص على أن:
limx→cf(x)⋅g(x)= (limx→cf(x)) (limx→cg(x))

وتلك كانت ببساطة طريقة إيجاد نهايات التابع الجيبي وإثبات أن: limx→0 sin(x)/x=1 وأن:limx→0 cos(x)−1/x=0 بطريقة هندسية وجبرية.