مجموعات الأعداد والعمليات الجبرية فيها من أهم موضوع دروس الحساب في مختلف المراحل التعليمية، والتي يتكون منها جميع العمليات الحسابية، حيث تنقسم الأرقام إلى عدة مجموعات لا يخرج منها أي عدد، سواء الأعداد السالبة أو الأعداد الموجبة، وتقوم على تلك الأعداد كافة العمليات الحسابية، مثل عمليات الطرح، وعمليات الجمع، وعمليات الضرب، وعمليات القسمة، لذا يجب التعرف على مجموعات الأعداد، والتفريق بين كل مجموعة، حتى يتم التمكن من التعامل معها، وإجراء كافة العمليات الحسابية دون أي خطأ يذكر، وفيما يلي سنتناول شرح ذلك بالتفصيل.
مجموعات الأعداد
عند إجراء العمليات الحسابية الأساسية، فإنك تتعامل مع مجموعات الأعداد، وكلما زادت معرفتك بهذه المجموعات، كان من السهل فهمها والعمل معها، وهذه المجموعات كالآتي:
- مجموعة الأعداد الطبيعية أو العد: هي أرقام العد مثل 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، …
- مجموعة الأعداد الصحيحة: تشمل الأعداد السالبة والأعداد الموجبة مثل –3 ، –2 ، –1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، …
- الأعداد النسبية: هي الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة أ / ب، بحيث ب لا يساوي صفر، أو تكتب على صورة عدد عشري منتهي.
- الأعداد غير النسبية: هي جميع الأعداد التي لا يمكن كتابتها في صورة نسبة بين عددين صحيحين، مثل الجذر التربيعي لعدد صحيح غير مربع.
- الأعداد الحقيقية: هي عبارة عن الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية معاً.
- ملاحظة: الصفر ليس موجبا ولا سلبيا. إنه محايد.
عملية الجمع
عملية الجمع هي أحد العمليات الجبرية في مجموعات الأعداد، وهي ببساطة مزيج من أعداد متميزة من الكيانات المتشابهة وهكذا، فإذا أضفنا مجموعة واحدة من أربعة مربعات، إلى مجموعة أخرى من خمسة مربعات، فسنحصل على إجمالي تسعة مربعات، وإذا تعاملنا مع الأرقام، على سبيل المثال:4 + 5 = 9
نلاحظ أن الترتيب الذي نضيف به الأعداد لا يحدث فرقًا، سواء أضفنا أربعة إلى خمسة أو العكس، فالنتيجة دائمًا هي تسعة، لأن الجمع تبادلي: 4 + 5 = 9، و 5 + 4 = 9
عملية طرح مجموعات الأعداد
الطرح هو عكس الجمع، بدلاً من إضافة كميتين (أرقام)، نقوم بإزالة كمية من أخرى، وبالتالي إذا كان لدينا تسعة مربعات، وطرحنا خمسة، يتبقى لدينا أربعة مربعات، وباستخدام الأرقام: 9-5 = 4
هنا 9 و 5 هما شروط العملية، و 4 هو الفرق، على عكس الجمع، فإن الطرح ليس تبادليًا، وهذا يعني أن 9 – 5 و 5 – 9 ليسا متشابهين، بل إنهما في الواقع ينتج عنهما نتائج مختلفة تمامًا.
عمليات جمع وطرح الأعداد السالبة
يمكن أن تتضمن العمليات الحسابية المختلفة في مجموعات الأعداد الأرقام السالبة، وهي كميات أقل من الصفر، ويتم التعبير عن الأرقام السالبة عادةً باستخدام علامة الطرح (-)، تخيل أن لديك تسعة تفاحات (موجب تسعة)، لكنك مدين لصديقك بأربعة تفاحات (سالب أربعة)، وهكذا تأخذ أربعة تفاحات من التسعة التي لديك، وتبقي خمسة، أي : 9 – 4 = 5
هناك طريقة أخرى للنظر إلى هذه العملية وهي أن لديك تسعة تفاحات، وأنك تضيف سالب أربعة (تسعة في حوزتك، وأربعة تخص شخصًا آخر)، يمكننا كتابة الأرقام الخاصة بهذه العملية على النحو التالي: 9 + (–4) = 5
عملية الضرب
لنفترض أننا نريد إضافة عدد معين، مثل ستة إلى نفسه عدة مرات، يمكننا إيجاد المجموع ببساطة عن طريق إجراء الجمع عدة مرات، ومع ذلك فإن الاختصار هو الضرب. مثلاً إذا كنا نملك مجموعة صفوف في كل صف ستة أجزاء، ولدينا إجمالي خمسة صفوف، بدلاً من إجراء خمس عمليات جمع لستة، فإننا ببساطة نضرب ستة في خمسة لنحصل على إجمالي 30، أي 5*6= 30
عملية القسمة
القسمة هي معكوس الضرب في مجموعات الأعداد، على سبيل المثال، تخيل أن لديك 30 جزءاً من شئ ما، وتريد توزيعهم على خمسة أشخاص، هنا يجب أن تقسم 30 على 5، ليصبح الناتج 6 وهكذا، والعدد الذي يتم تقسيمه (30 في هذه الحالة) يسمى المقسوم، والرقم الذي يتم القسمة عليه (5 في هذه الحالة) يسمى القاسم، والنتيجة تسمى حاصل القسمة.
تعتبر تلك أهم المعلومات عن مجموعات الأعداد والعمليات الجبرية فيها، والتي تساعد كل شخص في فهم العمليات الحسابية بصورة كبيرة، وتسهل التعامل معها، وحلها بسرعة.